Question

4．已知拋物線C：x²=4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)D（0，-1）的直線l與拋物線C交于不同的A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若$|{AB}|=4\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（Ⅱ）記FA、FB的斜率分別為k₁、k₂，試問：k₁+k₂的值是否隨直線l位置的變化而變化？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)l：y=kx-1代入x²=4y得：x²-4kx+4=0，利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合$|{AB}|=4\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（Ⅱ）利用斜率公式，結(jié)合由韋達(dá)定理，由此能夠得到k₁+k₂為定值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，可設(shè)l：y=kx-1，…（1分）
代入x²=4y得：x²-4kx+4=0，令△=16k²-16＞0?|k|＞1，…（2分）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=4，…（3分）
∴$|{AB}|=\sqrt{（1+{k^2}）{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}=\sqrt{（1+{k^2}）[{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]}$=$\sqrt{（1+{k^2}）（16{k^2}-16）}=4\sqrt{{k^4}-1}$，…（5分）
∵$|{AB}|=4\sqrt{3}$，∴${k^4}-1=3⇒k=±\sqrt{2}∈（-∞，-1）∪（1，+∞）$，…（6分）
∴$l：y=±\sqrt{2}x-1$；  …（7分）
（Ⅱ）∵F（0，1），∴${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}-1}}{x_1}+\frac{{{y_2}-1}}{x_2}=\frac{{{x_2}（{y_1}-1）+{x_1}（{y_2}-1）}}{{{x_1}{x_2}}}$=$\frac{{{x_2}（k{x_1}-2）+{x_1}（k{x_2}-2）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{2k{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{8k-8k}{4}=0$，…（11分）
∴k₁+k₂的值不隨直線l位置的變化而變化．    …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高．