Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{1}{4}$，${a_{n+1}}=\frac{1}{{4（{1-{a_n}}）}}$．
（1）設(shè)${b_n}=\frac{2}{{2{a_n}-1}}$，求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）求證：$\frac{a_2}{a_1}+\frac{a_3}{a_2}+…+\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}＜n+\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由${a_{n+1}}=\frac{1}{{4（{1-{a_n}}）}}$．${b_n}=\frac{2}{{2{a_n}-1}}$，可得b_n+1-b_n，再利用等差數(shù)列的定義即可判斷出；
（2）由（1）知b_n=-2n-2，可得$\frac{2}{{2{a_n}-1}}=-2n-2$，解得a_n，計(jì)算出$\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}$，即可證明．

解答 （1）證明：${a_{n+1}}=\frac{1}{{4（{1-{a_n}}）}}$，
∴${b_{n+1}}=\frac{2}{{2{a_{n+1}}-1}}=\frac{2}{{\frac{2}{{4（{1-{a_n}}）}}-1}}=\frac{2}{{2{a_n}-1}}-2=b{\;}_n-2$，
∴b_n+1-b_n=-2，
又${a_1}=\frac{1}{4}$，∴${b_1}=\frac{2}{{2{a_1}-1}}=-4$，
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為-4，公差為-2．
（2）由（1）知b_n=-4+（n-1）（-2）=-2n-2，
即$\frac{2}{{2{a_n}-1}}=-2n-2$，
∴${a_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+2}=\frac{n}{{2（{n+1}）}}$，
由于$\frac{{{a_{k+1}}}}{a_k}=\frac{k+1}{{2（{k+2}）}}•\frac{{2（{k+1}）}}{k}=\frac{{{{（{k+1}）}^2}}}{{k（{k+2}）}}=1+\frac{1}{{k（{k+2}）}}=1+\frac{1}{2}（{\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}}）$，
∴$\frac{a_2}{a_1}+\frac{a_3}{a_2}+…+\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=n+\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$
=$n+\frac{1}{2}（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）＜n+\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”方法、不等式的性質(zhì)、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．