Question

3．依次計(jì)算數(shù)列：（1-$\frac{1}{4}$），（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$），（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$），（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）（1-$\frac{1}{25}$），…的前4項(xiàng)的值，由此猜想（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）（1-$\frac{1}{25}$）…（1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$）（n∈N^*）的結(jié)果，并用數(shù)字歸納法加以證明．

Answer 1

分析 設(shè)a_n=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）（1-$\frac{1}{25}$）…（1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$）（n∈N^*），分別求出前4項(xiàng)的值，并猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：設(shè)a_n=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）（1-$\frac{1}{25}$）…（1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$）（n∈N^*），
（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{4}$，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）=$\frac{2}{3}$，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）=$\frac{5}{8}$，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）（1-$\frac{1}{25}$）=$\frac{3}{5}$，
猜想：a_n=$\frac{n+2}{2（n+1）}$
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N₊）命題成立，即a_k=$\frac{k+2}{2（k+1）}$
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=a_k•[1-$\frac{1}{（k+2）^{2}}$]=$\frac{k+2}{2（k+1）}$•$\frac{（k+2）^{2}-1}{（k+2）^{2}}$=$\frac{（k+2）+1}{2（k+2）}$
則n=k+1時(shí)也成立，
由①②，猜想成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納推理的應(yīng)用，著重考查數(shù)學(xué)歸納法，考查運(yùn)算推理能力，屬于中檔題．