Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，PA=PB=2．
（Ⅰ）求證：當(dāng)AD=2時(shí)，平面PBD⊥面PAC；
（Ⅱ）當(dāng)AD=

2

時(shí)，求二面角B-PD-C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間角

分析：（Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)AP，AB，AD分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）由已知條件分別求出平面PDC的法向量和平面PBD的法向量，利用向量法能求出二面角B-PD-C的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，
射線(xiàn)AP，AB，AD分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），
C（0，2，2），D（0，0，2），
∴

BD

=(0，-2，2)，

PA

=(-2，0，0)，

CA

=(0，-2，-2)，
∴

BD

•

PA

=0，

BD

•

CA

=0，
∵BD⊥PA，BD⊥CA，
∵PA∩CA=A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵AD=

2

，∴P（2，0，0），C（0，2，

2

），D（0，0，

2

），
∴

PD

=（-2，0，

2

），

PB

=（-2，2，0），

DC

=（0，2，0），
設(shè)平面PDC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PD =-2x+ 2 z=0 n • DC =2y=0

，
取x=1，得

n

=(1，0，

2

)，
設(shè)平面PBD的法向量

m

=(x1，y1，z1)，

m • PD =-2x1+ 2 z1=0 m • PB =-2x1+2y1=0

，
取x₁=1，得

m

=（1，1，

2

），
∴cos＜

n

，

m

＞=

1+2

3 • 4

=

3

2

，
∴二面角B-PD-C的大小為30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．