Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，a₁及a_n+1=2S_n+1，可求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）由a_n+1=2S_n+1得a_n=2S_n-1+1，兩式相減可得{a_n}是等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）由a_n得出T_n的表達(dá)式，用錯(cuò)位相減法求出前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）；
∴a₂=2s₁+1=2a₁+1=2×1+1=3，
∴s₂=a₁+a₂=1+3=4，
∴a₃=2s₂+1=2×4+1=9．
（Ⅱ）∵a_n+1=2S_n+1①，
∴a_n=2S_n-1+1②，
①-②得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n；
∴

an+1

an

=3，
∴數(shù)列{a_n}是公比為q=3的等比數(shù)列；
∴通項(xiàng)公式an=1×3n-1=3n-1．
（Ⅲ）∵an=1×3n-1=3n-1，
∴T_n=na_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+（n-1）•3^n-2+n•3^n-1①
于是，3T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+（n-1）3^n-1+n•3ⁿ②
①-②得：-2Tn=1+3+32+…+3n-1-n•3n=

1×(1-3n)

1-3

-n•3n
∴前n項(xiàng)和Tn=

1

4

[(2n-1)×3n+1]．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，以及錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和的問題，也考查了一定的運(yùn)算能力．