Question

已知函數f（x）是定義域為R的奇函數．當x＜0時，f（x）=log_a（x+b），圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=m有兩解，寫出m的范圍；
（Ⅲ）解不等式（x-1）•f（x）＜0，寫出解集．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,函數解析式的求解及常用方法,函數的零點與方程根的關系

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據函數圖象過點（-3，0）和（-2，1），代入求解a，b即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）做出函數f（x）的圖象，利用數形結合，根據方程f（x）=m有兩解，寫出m的范圍；
（Ⅲ）將不等式（x-1）•f（x）＜0，進行等價轉化，結合圖象寫出解集．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=log_a（x+b），f（-3）=0，
∴b-3=1，解得b=4．
又f（-2）=1，∴f（-2）=log_a（4-2）=log_a2=1，
∴a=2，
當x＜0時，f（x）=log₂（x+4）．
當x＞0時，-x＜0，
∴f（-x）=log₂（-x+4）．
∵函數f（x）是奇函數，∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=log₂（-x+4）=-f（x），
∴f（x）=-log₂（4-x），x＞0．
∴f(x)=

log2(x+4)，x＜0 0，                      x=0 -log2(4-x)，x＞0

．
（Ⅱ）作出函數f（x）的圖象如圖：
由圖象可知要使方程f（x）=m有兩解，
則-2＜m＜0或0＜m＜2．
（Ⅲ）不等式（x-1）•f（x）＜0等價為：
①

x-1＞0 f(x)＜0

，即

x＞1 x＜-3或0＜x＜3

，
∴1＜x＜3．
②

x-1＜0 f(x)＞0

，∴

x＜1 -3＜x＜0或x＞3

，
∴-3＜x＜0，
綜上不等式的解1＜x＜3或-3＜x＜0．
綜上：解集為{x|1＜x＜3或-3＜x＜0}．

點評：本題主要考查函數圖象的識別和應用，考查函數奇偶性的應用，以及不等式和方程的解法和應用，利用數形結合是解決本題的關鍵，綜合性較強．