Question

18．己知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C上任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為4，且橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，單位圓O的切線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：OA⊥OB；
（Ⅱ）求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓C上任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為4，且橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求出橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$，單位圓O的方程為x²+y²=1，當(dāng)單位圓的切線與x軸垂直時，OA⊥OB．當(dāng)單位圓的切線與x軸不垂直時，設(shè)為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積能證明OA⊥OB．
（Ⅱ）由弦長公式求出|AB|，又O到直線AB的距離d=1，由此能求出△OAB面積的最大值．

解答 證明：（Ⅰ）∵中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C上任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為4，且橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞b＞0，
且$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$^{2}=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$，
單位圓O的方程為x²+y²=1，
當(dāng)單位圓的切線與x軸垂直時，A（1，1），B（1，-1），或A（-1，1），B（-1，-1），
$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=1-1=0，∴OA⊥OB．
當(dāng)單位圓的切線與x軸不垂直時，設(shè)為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
圓心（0，0）到直線y=kx+m的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴m²=k²+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-4=0，
△=36k²m²-4（3k²+1）（3m²-4）＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6km}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-4}{3{k}^{2}+1}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂
=（k²+1）•$\frac{3{m}^{2}-4}{3{k}^{2}+1}$+km•$\frac{-6km}{3{k}^{2}+1}$+m²
=$\frac{4{m}^{2}-4（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+1}$=0，
∴OA⊥OB．
綜上，OA⊥OB．
解：（Ⅱ）|AB|=$\sqrt{（1+k^{2}）[（-\frac{6km}{3{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{3{m}^{2}-4}{3{k}^{2}+1}]}$=2$\sqrt{\frac{9{k}^{4}+10{k}^{2}+1}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}}$≤2，
又O到直線AB的距離d=1，
∴△OAB面積的最大值S=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=$\frac{1}{2}×2×1$=1．

點(diǎn)評 本題考查兩直線垂直的證明，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式的合理運(yùn)用．