Question

8．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的右焦點為F，過F作互相垂直的兩條直線分別與E相交于A，C和B，D四點．
（1）四邊形ABCD能否成為平行四邊形，請說明理由．
（2）求|AC|+|BD|的最小值．

Answer 1

分析 （1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若四邊形ABCD為平行四邊形，則四邊形ABCD為菱形，由橢圓的對稱性知AC垂直于x軸，則BD垂直于y軸，從而得到四邊形ABCD不可能成為平行四邊形．
（2）當直線AC的斜率存在且不為0時，設直線AC的方程為y=k（x-1），與橢圓聯立，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，由此利用韋達定理、弦長公式得到|AC|+|BD|≥$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，當直線AC的斜率不存在或直線AC的斜率為0時，|AC|+|BD|=3$\sqrt{2}$．由此能求出|AC|+|BD|的最小值為$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

解答 解：（1）四邊形ABCD不可能成為平行四邊形，理由如下：
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若四邊形ABCD為平行四邊形，則四邊形ABCD為菱形，
∴AC與BD在點F處互相平分，又F的坐標為（1，0），
∴y₁+y₂=0，
由橢圓的對稱性知AC垂直于x軸，則BD垂直于y軸，
由題意知這時ABCD不是平行四邊形，
∴四邊形ABCD不可能成為平行四邊形．
（2）當直線AC的斜率存在且不為0時，設直線AC的方程為y=k（x-1），k≠0，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
△＞0，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴|AC|=$\frac{2\sqrt{2}（{k}^{2}+1）}{2{k}^{2}+1}$，同理，得|BD|=$\frac{2\sqrt{2}（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+2}$，
∴|AC|+|BD|=6$\sqrt{2}$×$\frac{（{k}^{2}+1）^{2}}{（2{k}^{2}+1）（{k}^{2}+2）}$，
令k²+1=t，則S=$\frac{6\sqrt{2}t}{2{t}^{2}+t-1}$≥$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
當直線AC的斜率不存在時，|AC|=$\sqrt{2}$，|BD|=2$\sqrt{2}$，∴|AC|+|BD|=3$\sqrt{2}$；
當直線AC的斜率為0時，|AC|=2$\sqrt{2}$，|BD|=$\sqrt{2}$，∴|AC|+|BD|=3$\sqrt{2}$．
∵3$\sqrt{2}≥\frac{8\sqrt{2}}{3}$，∴|AC|+|BD|的最小值為$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查四邊形是否能為平行四邊形的判斷與證明，考查兩線段和的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式的合理運用．