Question

9．已知數(shù)列1$\frac{1}{2}$，2$\frac{1}{4}$，3$\frac{1}{8}$，4$\frac{1}{16}$，…
（1）求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）$\frac{10241}{1024}$是該數(shù)列的第幾項(xiàng)？
（3）求該數(shù)列的前10項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)猜想a_n=n+$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）化簡$\frac{10241}{1024}$=10+$\frac{1}{{2}^{10}}$，從而確定數(shù)列的項(xiàng)；
（3）記該數(shù)列的前10項(xiàng)和為S₁₀，從而化簡S₁₀=1$\frac{1}{2}$+2$\frac{1}{4}$+3$\frac{1}{8}$+4$\frac{1}{16}$+…+10+$\frac{1}{{2}^{10}}$=1+2+3+…+10+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$），從而分別求和．

解答 解：（1）根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)1$\frac{1}{2}$，2$\frac{1}{4}$，3$\frac{1}{8}$，4$\frac{1}{16}$猜想a_n=n+$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）$\frac{10241}{1024}$=10+$\frac{1}{{2}^{10}}$，
故$\frac{10241}{1024}$是該數(shù)列的第10項(xiàng)；
（3）記該數(shù)列的前10項(xiàng)和為S₁₀，
S₁₀=1$\frac{1}{2}$+2$\frac{1}{4}$+3$\frac{1}{8}$+4$\frac{1}{16}$+…+10+$\frac{1}{{2}^{10}}$
=1+2+3+…+10+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$）
=$\frac{1+10}{2}$×10+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{10}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=55+1-$\frac{1}{{2}^{10}}$
=56-$\frac{1}{{2}^{10}}$=55$\frac{1023}{1024}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類法的應(yīng)用．