Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+4}$．
（1）求證：{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}為等比數(shù)列；
（2）求證：S_n＜$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由條件取倒數(shù)，再兩邊加上$\frac{1}{3}$，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項公式，化簡可得a_n=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$，由$\frac{3}{{4}^{n}-1}$-$\frac{1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{1-{4}^{n-1}}{{4}^{n-1}（{4}^{n}-1）}$≤0，可得$\frac{3}{{4}^{n}-1}$≤$\frac{1}{{4}^{n-1}}$，n≥1．再由等比數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：（1）a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+4}$，
可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=4•$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，
即有$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{3}$=4（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$），
則{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}為首項為$\frac{4}{3}$，公比為4的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$•4^n-1，
即有a_n=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$，
由$\frac{3}{{4}^{n}-1}$-$\frac{1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{1-{4}^{n-1}}{{4}^{n-1}（{4}^{n}-1）}$≤0，可得
$\frac{3}{{4}^{n}-1}$≤$\frac{1}{{4}^{n-1}}$，n≥1．
則S_n=1+$\frac{3}{{4}^{2}-1}$+$\frac{3}{{4}^{3}-1}$+…+$\frac{3}{{4}^{n}-1}$
＜1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）＜$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式的運(yùn)用，考查構(gòu)造法的運(yùn)用，以及數(shù)列不等式的證明，注意運(yùn)用放縮法和等比數(shù)列的求和公式，以及不等式的性質(zhì)，考查化簡整理能力，屬于中檔題．