Question

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)），且，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出關(guān)于的方程，解出正數(shù)的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)、，求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程，將直線的方程與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，可得出，可知該方程有解，由可求得的取值范圍，并進(jìn)行檢驗(yàn)，由此可得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

（1）依題意得，設(shè)，由的中點(diǎn)坐標(biāo)為，得，

即，，所以，得，即，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由題意知，設(shè)，，則，

因?yàn)?/span>，所以，所在直線方程為，

聯(lián)立，

因?yàn)?/span>，得，即，

因?yàn)?/span>，即，故或.

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，不滿足題意；

所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是.