Question

定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)取得極大值，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，取得極小值，若（1-t）a+b+t-3＞0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（　�。�

• A、（2，+∞）
• B、[2，+∞）
• C、（-∞，

  5

  4

  ）
• D、（-∞，

  5

  4

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：據(jù)極大值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為正右邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)，極小值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)右邊導(dǎo)數(shù)為正得a，b的約束條件，據(jù)線性規(guī)劃求出最值．

解答： 解∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，
∴f′（x）=x²+ax+2b，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取得極小值，
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）內(nèi)各有一個(gè)根，
f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，
即

b＞0 a+2b+1＜0 a+2b+2＞0

，在aOb坐標(biāo)系中畫出其表示的區(qū)域（不包括邊界），如圖：
若（1-t）a+b+t-3＞0恒成立，可知a+b-3＞t（a-1）恒成立，由可行域可知a＜0，
可得t＞

a+b-3

a-1

=1+

b-2

a-1

它的幾何意義是表示點(diǎn)P（1，2）與可行域內(nèi)的點(diǎn)A連線的斜率加1，
當(dāng)A（x，y）位于M（-1，0）時(shí)，

b-2

a-1

最小，最小值為1；
則最小值為1+1=2，
∴

a+b-3

a-1

的取值范圍[2，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及會(huì)進(jìn)行簡單的線性規(guī)劃的能力．