【題目】已知橢圓，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn).

（1）若，且恰為線段的中點(diǎn)，求證：線段的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn)；

（2）若，設(shè)分別為 的左、右頂點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)異于時，是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）是，4.

【解析】

（1）設(shè)，，由是橢圓上的點(diǎn)可得，兩式相減進(jìn)行整理可得，從而可求出，則可得的垂直平分線的斜率，由點(diǎn)斜式可得的垂直平分線的方程為，即可得所過定點(diǎn).

（2）由點(diǎn)斜式得直線的方程為，則點(diǎn)從而可求；

得直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可求出其交點(diǎn)橫坐標(biāo)，聯(lián)立與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，對進(jìn)行化簡，可得，即可求出的值，從而可判斷是否為定值.

解：設(shè)，.

（1）由題意知，直線的斜率為，因?yàn)?/span>是橢圓上的點(diǎn)，則 ，

兩式相減，整理得，所以，故線段的垂直平分線的斜率為，

從而線段的垂直平分線的方程為，

所以，線段的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn).

（2）直線的方程為，由條件知：，則點(diǎn)，.

聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去得：，

所以，.

直線的方程為①，直線的方程為②.

設(shè)點(diǎn)，由①，②得，

.

所以，.即為定值4.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某校開展學(xué)生社會法治服務(wù)項(xiàng)目，共設(shè)置了文明交通，社區(qū)服務(wù)，環(huán)保宣傳和中國傳統(tǒng)文化宣講四個項(xiàng)目，現(xiàn)有該校的甲、乙、丙、丁4名學(xué)生，每名學(xué)生必須且只能選擇1項(xiàng)．

（1）求恰有2個項(xiàng)目沒有被這4名學(xué)生選擇的概率；

（2）求“環(huán)保宣傳”被這4名學(xué)生選擇的人數(shù)的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

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（2）求二面角的余弦值.

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【題目】2020元旦聯(lián)歡晚會上,,兩班各設(shè)計(jì)了一個摸球表演節(jié)目的游戲：班在一個紙盒中裝有1個紅球,1個黃球,1個白球,這些球除顏色外完全相同,記事件：同學(xué)們有放回地每次摸出1個球,重復(fù)次,次摸球中既有紅球,也有黃球,還有白球；班在一個紙盒中裝有1個藍(lán)球,1個黑球,這些球除顏色外完全相同,記事件：同學(xué)們有放回地每次摸出1個球,重復(fù)次,次摸球中既有藍(lán)球,也有黑球,事件發(fā)生的概率為,事件發(fā)生的概率為．

（1）求概率,及,；

（2）已知,其中,為常數(shù),求．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，且直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn).

（1）求直線l的普通方程以及曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線C外一點(diǎn)恰好落在直線l上，且，求m，n的值.

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【題目】如圖，是以為直徑的圓上一點(diǎn)，，等腰梯形所在的平面垂直于⊙所在的平面，且.

（1）求與所成的角；

（2）若異面直線和所成的角為，求二面角的余弦值.

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【題目】如圖所示，直角梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)P，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長，若不存在，請說明理由.

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【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，

曲線（為參數(shù)），（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線（且）.

（1）求與的極坐標(biāo)方程；

（2）若與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，當(dāng)為何值時，最大，并求最大值.

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【題目】已知平面直角坐標(biāo)系，直線過點(diǎn)，且傾斜角為，以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的參數(shù)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線與圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的傾斜角的值.

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