【題目】已知.
(Ⅰ)若,求的單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)增區(qū)間為;(2).
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出,令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(Ⅱ)不等式恒成立,等價(jià)于當(dāng)時(shí), 恒成立,只需 ,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出 的最大值為,所以, .
試題解析:(Ⅰ) 依題意,
若時(shí),,
由得,又,
解得,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
(Ⅱ)依題意得即,
∴,∵,∴ ,∴,
∴.
設(shè), ,
令,解得,
當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減;
∴=,
∴ 即.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的最值、不等式恒成立問題,屬于難題.不等式恒成立問題常見方法:① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立即可);② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可);③ 討論最值或恒成立;④ 討論參數(shù).本題(2)是利用方法 ① 求得的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的長軸長為4,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,連接,當(dāng)直線的傾斜角發(fā)生變化時(shí),直線與軸是否相交于定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),否則,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知小明(如圖中所示)身高米,路燈高米, , 均垂直于水平地面,分別與地面交于點(diǎn), .點(diǎn)光源從發(fā)出,小明在地上的影子記作.
(1)小明沿著圓心為,半徑為米的圓周在地面上走一圈,求掃過的圖形面積;
(2)若米,小明從出發(fā),以米/秒的速度沿線段走到, ,且米. 秒時(shí),小明在地面上的影子長度記為(單位:米),求的表達(dá)式與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是同一球面上的四點(diǎn),是邊長為6的等邊三角形,若三棱錐體積的最大值為,則該球的表面積為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題:實(shí)數(shù)滿足,其中,命題:實(shí)數(shù)滿足.
(1)若,且為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,四邊形為矩形, 為等腰三角形, ,平面平面,且, , 分別為的中點(diǎn).
(1)證明: 平面;
(2)證明:平面平面;
(3)求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,斜三棱柱中,為銳角,底面是以為斜邊的等腰直角三角形, .
(1)證明:平面 平面;
(2)若直線與底面成角為, ,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程.以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)寫出曲線的參數(shù)方程和直線的普通方程;
(2)過曲線上任意一點(diǎn)作與直線相交的直線,該直線與直線所成的銳角為,設(shè)交點(diǎn)為,求的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線過點(diǎn),圓,直線與圓交于不同兩點(diǎn).
(Ⅰ)求直線的斜率的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在過點(diǎn)且垂直平分弦的直線?若存在,求直線斜率的值,若不存在,請說明理由.
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