Question

【題目】如圖，斜三棱柱中，為銳角，底面是以為斜邊的等腰直角三角形， ．

（1）證明：平面 平面；

（2）若直線與底面成角為， ，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析.

(2) .

【解析】分析：（1）先證明平面，再證明平面 平面．（2）利用空間向量求二面角的余弦值．

詳解：（1）因?yàn)?/span>，，，所以平面．

因?yàn)?/span>平面，所以平面 平面．

（2）因?yàn)?/span> 平面，在平面內(nèi)作，垂足為，

所以平面．因?yàn)?/span>底面成角為，所以．

因?yàn)?/span>，，所以平面，

所以，

四邊形是菱形．因?yàn)?/span>為銳角，

所以，于是是中點(diǎn)．

設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，，，，

，，．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則，即，

可以取．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則，即，

可以取．

因?yàn)?/span>，二面角平面角是鈍角，

故二面角的余弦值是．