Question

12．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0）圖象的相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，且f（C）=0，求三邊長(zhǎng)之比a：b：c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意有$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，解得ω，即求得解析式f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由0$≤x≤\frac{π}{2}$，可得-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．
（Ⅱ）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得a+c=2b，由f（C）=0，結(jié)合C的范圍可求得C=$\frac{π}{6}$或C=$\frac{2π}{3}$，從而由余弦定理即可求得三邊之比．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0）圖象的相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=2，即有f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
當(dāng)0$≤x≤\frac{π}{2}$時(shí)，-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，故x=0時(shí)，f（x）_min=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
當(dāng)x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，f（x）_max=1，
故所求值域?yàn)椋篬-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]…6分
（Ⅱ）∵sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，
∴sinB（sinA+sinC）=2sin²B，由sinB≠0，sinA+sinC=sinB，
由正弦定理得：a+c=2b，
∵f（C）=0，∴sin（2C-$\frac{π}{3}$）=0，又0$＜C＜π，即-\frac{π}{3}＜2C-\frac{π}{3}＜\frac{5π}{3}$，
∴C=$\frac{π}{6}$或C=$\frac{2π}{3}$．
由余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-（2b-a）^{2}}{2ab}$=$\frac{4a-3b}{2a}$．
當(dāng)C=$\frac{π}{6}$時(shí)，$\frac{4a-3b}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴（4-$\sqrt{3}$）a=3b，此時(shí)a：b：c=3：（4-$\sqrt{3}$）：（5-2$\sqrt{3}$），
當(dāng)C=$\frac{2π}{3}$時(shí)，$\frac{4a-3b}{2a}$=-$\frac{1}{2}$，∴5a=3b，此時(shí)a：b：c=3：5：7．
故所求三邊之比為：3：（4-$\sqrt{3}$）：（5-2$\sqrt{3}$）或3：5：7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．