Question

1．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，2（a²-b²）=2accosB+bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）D為邊BC上一點(diǎn)，BD=3DC，∠DAB=$\frac{π}{2}$，求tanC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a²+c²-b²，代入已知等式整理得cosA=-$\frac{1}{2}$，即可求得A．
（Ⅱ）由已知可求∠DAC=$\frac{π}{6}$，由正弦定理有$\frac{AD}{sinC}$=$\frac{CD}{sin∠DAC}$，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=$\frac{π}{3}$-C化簡(jiǎn)即可得解．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)?accosB=a²+c²-b²，所以2（a²-b²）=a²+c²-b²+bc．…（2分）
整理得a²=b²+c²+bc，所以cosA=-$\frac{1}{2}$，即A=$\frac{2π}{3}$．…（4分）
（Ⅱ）因?yàn)椤螪AB=$\frac{π}{2}$，所以AD=BD•sinB，∠DAC=$\frac{π}{6}$．…（6分）
在△ACD中，有$\frac{AD}{sinC}$=$\frac{CD}{sin∠DAC}$，又因?yàn)锽D=3CD，
所以3sinB=2sinC，…（9分）
由B=$\frac{π}{3}$-C得$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cosC-$\frac{3}{2}$sinC=2sinC，…（11分）
整理得tanC=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，屬于基本知識(shí)的考查．