Question

已知函數f（x）滿足f（x）=4x²+2x+1．
（1）設g（x）=f（x-1）-2x，求g（x）在[-2，5]上的值域；
（2）設h（x）=f（x）-mx，在[2，4]上是單調函數，求m的取值范圍；
（3）F（x）=f（x）-2mx在[0，3]上的最小值．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：（1）求出g（x）=f（x-1）-2x的解析式，結合二次函數的圖象和性質可得：g（x）在[-2，5]上的值域；
（2）求出h（x）=f（x）-mx，若在[2，4]上是單調函數，則區(qū)間在對稱軸的一側，進而求得m的取值范圍；
（3）求出F（x）=f（x）-2mx的解析式，分類討論區(qū)間[0，3]與對稱軸的關系，可得[0，3]上的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=4x²+2x+1．
∴g（x）=f（x-1）-2x=4（x-1）²+2（x-1）+1-2x=4x²-8x+3．
∵g（x）的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對稱軸的拋物線，
當x=1時，函數取最小值-1，當x=-2或5時，函數取最大值63；
（2）∵h（x）=f（x）-mx=4x²+（2-m）x+1的圖象是開口朝上，且以直線x=

m-2

8

為對稱軸的拋物線，
若h（x）在[2，4]上是單調函數，則

m-2

8

≤2，或

m-2

8

≥4，
解得：m≤18，或m≥34，
（3）∵F（x）=f（x）-2mx=4x²+（2-2m）x+1的圖象是開口朝上，且以直線x=

m-1

4

為對稱軸的拋物線，
當

m-1

4

≥3，即m≥13時，F（x）在[0，3]上為減函數，當x=3時，函數取最小值43-6m，
當0＜

m-1

4

＜3，即1＜m＜13時，F（x）在[0，

m-1

4

]上為減函數，在[

m-1

4

，3]上為增函數，
當x=

m-1

4

時，函數取最小值

-m2+2m+3

4

，
當

m-1

4

≤0，即m≤1時，F（x）在[0，3]上為增函數，當x=0時，函數取最小值1．

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．