Question

16．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，Q分別是棱D₁C₁，A₁D₁，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)角線BD₁上，給出以下命題：
①當(dāng)P在BD₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有MN∥面APC；
②若A，P，M三點(diǎn)共線，則$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$；
③若$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，則C₁Q∥面APC；
④過點(diǎn)P且與直線AB₁和A₁C₁所成的角都為60°的直線有且只有3條．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①利用三角形中位線定理、正方體的性質(zhì)可得MN∥AC，再利用線面平行的判定定理即可判斷出正誤；
②若A，P，M三點(diǎn)共線，由D₁M∥AB，由平行線的性質(zhì)可得$\frac{{D}_{1}P}{BP}=\frac{{D}_{1}M}{AB}$=$\frac{1}{2}$，即可判斷出正誤；
③若$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，由②可得：A，P，M三點(diǎn)共線，設(shè)對(duì)角線BD∩AC=O，可得四邊形OQC₁M是平行四邊形，于是C₁Q∥OM，即可判斷出正誤．
④連接B₁C，A₁C₁∥AC，由正方體的性質(zhì)可得△AB₁C是等邊三角形，則點(diǎn)P取點(diǎn)D₁，則直線AD₁，CD₁滿足條件，有且只有這兩條，即可判斷出正誤．

解答 解：如圖所示，連接MN，AC，A₁C₁．
①當(dāng)P在BD₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M，N，分別是棱D₁C₁，A₁D₁的中點(diǎn)，由三角形中位線定理可得MN∥A₁C₁，由正方體的性質(zhì)可得：A₁C₁∥AC．
∴MN∥AC，而MN?平面APC，AC?平面APC，∴恒有MN∥面APC，正確；
②若A，P，M三點(diǎn)共線，由D₁M∥AB，∴$\frac{{D}_{1}P}{BP}=\frac{{D}_{1}M}{AB}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，正確；
③若$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，由②可得：A，P，M三點(diǎn)共線，設(shè)對(duì)角線BD∩AC=O，連接OM，OQ，則四邊形OQC₁M是平行四邊形，∴C₁Q∥OM，而M點(diǎn)在平面APC內(nèi)，∴C₁Q∥平面APC相交，因此正確；
④連接B₁C，A₁C₁∥AC，由正方體的性質(zhì)可得△AB₁C是等邊三角形，則點(diǎn)P取點(diǎn)D₁，則直線AD₁，CD₁滿足條件，∴過點(diǎn)P且與直線AB₁和A₁C₁所成的角都為60°的直線有且只有2條，因此不正確．
綜上可得：只有①②③正確，即正確的個(gè)數(shù)是3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系的判定、線面面面平行的判定與性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理與平行四邊形的性質(zhì)、正方體的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．