Question

已知集合A={1，2，3，…，2n}(n∈N*)，對(duì)于A的一個(gè)子集S，若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對(duì)S中的任意一對(duì)元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，則稱S具有性質(zhì)P，
(1)當(dāng)n=10時(shí)，試判斷集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}是否具有性質(zhì)P？并說明理由；
(2)若集合S具有性質(zhì)P，試判斷集合T={(2n+1)-x|x∈S}是否一定具有性質(zhì)P？并說明理由。

Answer 1

解：(1)當(dāng)n=10時(shí)，集合A={1，2，3，…，19，20}，
B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性質(zhì)P，
因?yàn)閷?duì)任意不大于10的正整數(shù)m，都可以找到該集合中兩個(gè)元素b₁=10與b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立． 集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}具有性質(zhì)P，
因?yàn)榭扇�m=1＜10，對(duì)于該集合中任意一對(duì)元素，
都有。
(2)若集合S具有性質(zhì)P．那么集合T=|(2n+1)-x|x∈|S}一定具有性質(zhì)P．
首先因?yàn)門={(2n+1)-x|x∈S}，任取t=(2n+1)-x₀∈T，其中x₀∈S，
因?yàn)镾A，所以x₀∈{1，2，3，…，2n}，
而1≤(2n+1)-x₀≤2n，即t∈A，所以TA，
由S具有性質(zhì)P，可知存在不大于n的正整數(shù)m，使得對(duì)S中的任意一對(duì)元素，都有，
對(duì)上述取定的不大于n的正整數(shù)m，
從集合T=|(2n+1)-x|x∈S}中任取元素，其中，
都有，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110927/20110927140406875950.gif">，
所以有，即，
所以集合具有性質(zhì)P。