Question

注：此題選A題考生做①②小題，選B題考生做①②③小題．
已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0．
①求證：對任意m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點；
②當m=1時，直線l與圓C交于M、N兩點，求弦長|MN|；
③設(shè)l與圓C交于A、B兩點，若|AB|=

17

，求l的傾斜角．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：①求出直線過定點，判斷定點和圓的位置關(guān)系即可得到結(jié)論；
②根據(jù)直線和圓相交的位置關(guān)系即可求弦長|MN|；
③根據(jù)|AB|=

17

，結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系即可求l的傾斜角．

解答： 解：①∵直線l：mx-y+1-m=0恒過（1，1）點，
又∵點（1，1）在圓C：x²+（y-1）²=5內(nèi)，
∴對?m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點．
②當m=1時，直線l：x-y=0；圓心C（0，1）到直線l：x-y=0的距離等于d=

|0-1|

2

=

2

2

，
又∵圓C的半徑r=

5

，
∴弦長|MN|=2

r2-d2

=2

5-( 2 2 )2

=2

9 2

=3

2

．
③∵|AB|=

17

，
∴

|AB|

2

=

17

2

，
又∵圓C的半徑為

5

，
∴圓心C（0，1）到直線l的距離等于

5-( 17 2 )2

=

3

2

，
∴d=

|m•0-1+1+m|

m2+1

=

3

2

，
∴m²=3，
∴m=

3

或-

3

，
∴直線l的傾斜角為60⁰或120⁰．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用，利用半徑，半弦和圓心到直線的距離之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．