Question

已知函數(shù)f（x）=x²-3x+alnx（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)的切線l的斜率為k，當(dāng)k的最小值為1時(shí)，求此時(shí)切線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入原函數(shù)解析式，求導(dǎo)后由導(dǎo)函數(shù)大于0求得原函數(shù)的增區(qū)間，由導(dǎo)函數(shù)小于0求得原函數(shù)的減區(qū)間，從而得到極值點(diǎn)并求得極值；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由基本不等式求得導(dǎo)函數(shù)的最小值，由導(dǎo)函數(shù)的最小值為1求得a的值，再由取最小值時(shí)的x值求出切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式得到切線l的方程．

解答： 解：（I）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-3x+lnx，
f′(x)=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

．
由2x²-3x+1=0，得x1=1，x2=

1

2

，
由2x²-3x+1＞0，得x＜

1

2

，或x＞1，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

2

)，（1，+∞）．
由2x²-3x+1＜0，得

1

2

＜x＜1，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

2

，1)．
∴f（x）極大值為f(

1

2

)=-

5

4

-ln2；極小值為f（1）=-2；
（II）由題意知f′(x)=2x-3+

a

x

≥2

2a

-3=1，∴a=2．
此時(shí)2x=

a

x

，即2x=

2

x

，∴x=1，∴切點(diǎn)為（1，-2），
∴此時(shí)的切線l方程為：x-y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)極值的求法，訓(xùn)練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程，屬中檔題．