Question

16．已知橢圓b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）截直線l₁：bx-ay=ab所得弦長為2$\sqrt{2}$，過橢圓右焦點且斜率為$\sqrt{3}$的直線l₂被橢圓截得的弦長是橢圓長軸長的$\frac{2}{5}$，求橢圓方程．

Answer 1

分析 利用橢圓b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）截直線l₁：bx-ay=ab所得弦長為2$\sqrt{2}$，可得b²+a²=8，過橢圓右焦點且斜率為$\sqrt{3}$的直線l₂被橢圓截得的弦長是橢圓長軸長的$\frac{2}{5}$，利用弦長公式得$\sqrt{1+3}$•$\frac{4a^{2}}{^{2}+3{a}^{2}}$=$\frac{4a}{5}$，求出a，b，即可求橢圓方程．

解答 解：∵橢圓b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）截直線l₁：bx-ay=ab所得弦長為2$\sqrt{2}$，
∴b²+a²=8，①
過橢圓右焦點且斜率為$\sqrt{3}$的直線l₂的方程為y=$\sqrt{3}$（x-c），
代入橢圓方程可得（b²+3a²）x²-6a²cx+a²（3c²-b²）=0，∴x₁+x₂=$\frac{6{a}^{2}c}{^{2}+3{a}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}（3{c}^{2}-^{2}）}{^{2}+3{a}^{2}}$．
∴|x₁-x₂|=$\frac{4a^{2}}{^{2}+3{a}^{2}}$，
由弦長公式得$\sqrt{1+3}$•$\frac{4a^{2}}{^{2}+3{a}^{2}}$=$\frac{4a}{5}$，
即a²=3b²，②
聯(lián)立①②得a²=6，b²=2．
故C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．