Question

1．若$\sqrt{3}$sinx+cosx=a，在x∈[0，π]上有兩個不同的實解x₁，x₂，則a的范圍（1，2）∪（-2，1），x₁+x₂=當a∈（1，2）時，x₁+x₂=$\frac{2π}{3}$；
當a∈（-2，1）時，x₁+x₂=$\frac{8π}{3}$．．

Answer 1

分析 設函數(shù)y₁=$\sqrt{3}$sinx+cosx，y₂=a，在同一平面直角坐標系中作出這兩個函數(shù)的圖象，應用數(shù)形結(jié)合解答即可．

解答 解：設f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），x∈[0，2π]．
令x+$\frac{π}{6}$=t，則f（t）=2sint，且t∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$]
在同一平面直角坐標系中作出y=2sint及y=a的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象可知
當1＜a＜2和-2＜a＜1時，兩圖象有兩個交點，即方程$\sqrt{3}$sinx+cosx=a在[0，2π]上有兩不同的實數(shù)解．
當1＜a＜2時，t₁+t₂=π
即x₁+$\frac{π}{6}$+x₂+$\frac{π}{6}$=π，
∴x₁+x₂=$\frac{2π}{3}$；
當-2＜a＜1時，t₁+t₂=3π，
即x₁+$\frac{π}{6}$+x₂+$\frac{π}{6}$=3π，
∴x₁+x₂=$\frac{8π}{3}$．
綜上可得，a的取值范圍是（1，2）∪（-2，1）．
當a∈（1，2）時，x₁+x₂=$\frac{2π}{3}$；
當a∈（-2，1）時，x₁+x₂=$\frac{8π}{3}$．
故答案為：（1，2）∪（-2，1）．
當a∈（1，2）時，x₁+x₂=$\frac{2π}{3}$；
當a∈（-2，1）時，x₁+x₂=$\frac{8π}{3}$．

點評 本題主要考查了輔助角公式在三角函數(shù)的化簡中的應用及方程的根與函數(shù)的交點的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用．