【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間是,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是;(2).
【解析】
試題分析:(1)求導(dǎo)得,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),令得,所以函數(shù)上遞減,上遞增;(2)當(dāng)時(shí),原不等式分離參數(shù)后為,利用導(dǎo)數(shù)右邊函數(shù)最小值為,所以的最大值為.
試題解析:
(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f′(x)=ex-a.
若a≤0,則f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.
若a>0,則當(dāng)x∈(-∞,ln a)時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x∈(ln a,+∞)時(shí),f′(x)>0.
所以,f(x)在(-∞,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)由于a=1時(shí),(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.
故當(dāng)x>0時(shí),(x-k)f′(x)+x+1>0等價(jià)于
k<+x(x>0)①
令g(x)=+x,則g′(x)=+1=.
由(1)知,函數(shù)h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-4>0.
所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一零點(diǎn).
故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一零點(diǎn).
設(shè)此零點(diǎn)為α,則α∈(1,2).
當(dāng)x∈(0,α)時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x∈(α,+∞)時(shí),g′(x)>0,
所以g(x)在(0,+∞)上的最小值為g(α).
又由g′(α)=0,得eα=α+2, 所以g(α)=α+1∈(2,3).
由于①式等價(jià)于k<g(α),
故整數(shù)k的最大值為2.
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【題目】設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個(gè)平面,則下列命題正確的是( )
A. 若l⊥m,mα,則l⊥α
B. 若l⊥α,l∥m,則m⊥α
C. 若l∥α,mα,則l∥m
D. 若l∥α,m∥α,則l∥m
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(Ⅱ)若對(duì)于任意的,若函數(shù)在區(qū)間上有最值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)滿足:對(duì)任意,,都有成立,且時(shí),.
(1)求的值,并證明:當(dāng)時(shí),;
(2)判斷的單調(diào)性并加以證明;
(3)若函數(shù)在上遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,棱形的邊長(zhǎng)為6, ,.將棱形沿對(duì)角線折起,得到三棱錐,點(diǎn)是棱的中點(diǎn), .
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求三棱錐的體積.
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【題目】已知圓,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (1,0).
(1)若直線與圓C相切,求直線的方程;
(2)若直線與圓C相交于P,Q兩點(diǎn),求三角形CPQ面積的最大值,并求此時(shí)直線的方程.
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【題目】衡州市臨棗中學(xué)高二某小組隨機(jī)調(diào)查芙蓉社區(qū)160個(gè)人,以研究這一社區(qū)居民在20:00-22:00時(shí)間段的休閑方式與性別的關(guān)系,得到下面的數(shù)據(jù)表:
休閑方式 性別 | 看電視 | 看書(shū) | 合計(jì) |
男 | 20 | 100 | 120 |
女 | 20 | 20 | 40 |
合計(jì) | 40 | 120 | 160 |
下面臨界值表:
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(Ⅰ)將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率,隨機(jī)調(diào)查3名在該社區(qū)的男性,設(shè)調(diào)查的3人在這一時(shí)間段以看書(shū)為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量,求 的分別列和期望;
(Ⅱ)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有99%的把握認(rèn)為“在20:00-22:00時(shí)間段的休閑方式與性別有關(guān)系”?
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n2,{bn}為等比數(shù)列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
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【題目】某初級(jí)中學(xué)有三個(gè)年級(jí),各年級(jí)男、女人數(shù)如下表:
初一年級(jí) | 初二年級(jí) | 初三年級(jí) | |
女生 | 370 | 200 | |
男生 | 380 | 370 | 300 |
已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名,抽到初二年級(jí)女生的概率是0.19.
(1)求的值;
(2)用分層抽樣的方法在初三年級(jí)中抽取一個(gè)容量為5的樣本,求該樣本中女生的人數(shù);
(3)用隨機(jī)抽樣的方法從初二年級(jí)女生中選出8人,測(cè)量它們的左眼視力,結(jié)果如下:1.2,1.5,1.2,1.5,1.5,1.3,1.0,1.2.把這8人的左眼視力看作一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.1的概率.
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