Question

【題目】已知函數(shù)滿足：對任意，，都有成立，且時，．

（1）求的值，并證明：當時，；

（2）判斷的單調(diào)性并加以證明；

（3）若函數(shù)在上遞減，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2）在上是增函數(shù)，證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）令可求得或，根據(jù)時，可排除，設(shè)，則，那么，再由可得結(jié)論；（2）設(shè)，則，∴，可證；（3）若函數(shù)在上遞減，即時，，根據(jù)單調(diào)性，，進而.

試題解析：（1）∵，

∴，或．

若，則，

與已知條件時，相矛盾，

所以．

設(shè)，則，那么．

又，

∴，

∵，∴，從而．

（2）函數(shù)在上是增函數(shù)，設(shè)，則，∴，

，

∵由（1）可知對任意，，∴，

又，∴，

即，

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．

（3）∵由（2）知函數(shù)在上是增函數(shù)，

∴函數(shù)在上也是增函數(shù)，若函數(shù)在上遞減，

則當時，，即時，，

∵時，，

∴．