Question

17．已知函數(shù)f（x）=lg（x+1）-lg（x-1）．
（Ⅰ）求f（x）的定義域，判斷并用定義證明其在定義域上的單調性；
（Ⅱ）若a＞0，解關于x的不等式f（a^2x-2a^x）＜lg2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由真數(shù)部分恒為正，可得函數(shù)的定義域，進而作差，利用定義，可得函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調遞減；
注：也可根據復合函數(shù)的單調性進行證明；
（Ⅱ）若a＞0，不等式f（a^2x-2a^x）＜lg2．等價于f（a^2x-2a^x）＜f（3）．結合（I）中函數(shù)的單調性，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意$\left\{{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{x+1＞0}\end{array}}\right.⇒x＞1$，所以定義域為（1，+∞）．（2分）
任取1＜x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=lg\frac{{（{x_1}+1）（{x_2}-1）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}+1）}}=lg\frac{{{x_1}{x_2}-1+{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}-1-{x_2}+{x_1}}}$，
∵1＜x₁＜x₂，
∴（x₁x₂-1+x₂-x₁）-（x₁x₂-1-x₂+x₁）=2（x₂-x₁）＞0，
且x₁x₂-1-x₂+x₁=（x₁-1）（x₂+1）＞0，
∴$\frac{{{x_1}{x_2}-1+{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}-1-{x_2}+{x_1}}}＞1$，
∴$lg\frac{{{x_1}{x_2}-1+{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}-1-{x_2}+{x_1}}}＞0$，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調遞減    （6分）
注：令$f（x）=lg\frac{x+1}{x-1}（x∈（1，+∞））$，$φ（x）=\frac{x+1}{x-1}$，先判斷φ（x₁），φ（x₂）大小，
再判斷f（x₁），f（x₂）大小的酌情給分．
（Ⅱ）由$f（x）=lg\frac{x+1}{x-1}（x＞1）$知，$f（3）=lg\frac{3+1}{3-1}=lg2$，（可直接看出或設未知數(shù)解出），
于是原不等式等價于f（a^2x-2a^x）＜f（3）．（7分）
由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減，于是原不等式等價于：a^2x-2a^x＞3＞1，
即a^2x-2a^x-3＞0⇒（a^x-3）（a^x+1）＞0⇒a^x＞3．（9分）
于是：①若a＞1，不等式的解集是{x|x＞log_a3}；
②若0＜a＜1，不等式的解集是{x|x＜log_a3}； 
③若a=1，不等式的解集是Φ．（（12分），每少一種情況扣1分）

點評 本題考查的知識點是復合函數(shù)的單調性，函數(shù)的定義域，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，難度中檔．