Question

15．如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，以AC為直徑的圓O交AB于F，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接OD交圓O于點(diǎn)E．
（1）求證：O，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；
（2）求證：2DF²=DE•AB+DE•AC．

Answer 1

分析 （1）連接CF，OF，由直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到CF⊥AB，從而△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圓內(nèi)接四邊形形的判定定理得到O，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；
（2）利用FD是圓的切線，可得DF²=DE•（DE+2r）=DE•（DO+2r）=DE•DO+DE•r，化簡(jiǎn)即可得到等式2DF²=DE•AB+DE•AC．

解答 證明：（Ⅰ）連接CF，OF，
因?yàn)锳C為直徑，所以CF⊥AB，
因?yàn)镺，D分別為AC，BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥AB，
所以CF⊥OD．
因?yàn)镺F=OC，則∠EOF=∠EOC，且OD=OD，
所以△OCD≌△OFD．
所以∠OCD=∠OFD=90°．
所以O(shè)，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為r，因?yàn)镺F⊥FD，所以FD是圓的切線，
所以DF²=DE•（DE+2r）=DE•（DO+2r）=DE•DO+DE•r
=DE$•\frac{1}{2}$AB+DE•$\frac{1}{2}AC$．
故2DF²=DE•AB+DE•AC．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了圓的切線的性質(zhì)定理與判定、直徑所對(duì)的圓周角、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．