Question

2．設函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為y=x-b，求a，b的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x²有兩個極值點，且h（x）=ax-e^x在（1，+∞）有最大值，求a的取值范圍；
（3）討論方程f（x）=0解的個數(shù)，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，由題意可得f′（2）=1，f（2）=2-b，解方程可得a，b；
（2）求出g（x）的導數(shù)，由題意可得x²-ax+1=0有兩個正根，則△=a²-4＞0，且a＞0，解得a＞2，求得h（x）的導數(shù)，對a討論，若2＜a≤e，若a＞e，判斷h（x）的單調性，即可得到a的范圍；
（3）方程f（x）=0即為a=$\frac{lnx}{x}$，令m（x）=$\frac{lnx}{x}$（x＞0），求得導數(shù)，求出單調區(qū)間和最值，作出圖象，通過圖象對a討論，即可得到解的個數(shù)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-ax的導數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
由函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為y=x-b，
可得f′（2）=1，f（2）=2-b，
即為$\frac{1}{2}$-a=1，ln2-2a=2-b，
解得a=-$\frac{1}{2}$，b=1-ln2；
（2）g（x）=lnx-ax+$\frac{1}{2}$x²的導數(shù)為g′（x）=$\frac{1}{x}$-a+x=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{x}$
g（x）有兩個極值點，即有x²-ax+1=0有兩個正根，
則△=a²-4＞0，且a＞0，解得a＞2，
h（x）=ax-e^x的導數(shù)為h′（x）=a-e^x，
若2＜a≤e，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）單調遞減，無最大值；
若a＞e，則當1＜x＜lna，h′（x）＞0，h（x）遞增，當x＞lna時，h′（x）＜0，h（x）遞減．
即有x=lna處取得最大值h（lna），
則有a＞e成立；
（3）方程f（x）=0即為a=$\frac{lnx}{x}$，
由m（x）=$\frac{lnx}{x}$（x＞0）的導數(shù)為m′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當x∈（0，e）時，m′（x）＞0，m（x）遞增，
當x∈（e，+∞）時，m′（x）＜0，m（x）遞減．
即有m（x）的最大值為m（e）=$\frac{1}{e}$，
y=m（x）的圖象如右．
則當a＞$\frac{1}{e}$時，y=a和y=m（x）無交點，即方程解的個數(shù)為0；
當0＜a＜$\frac{1}{e}$，y=a和y=m（x）有兩個交點，即方程解的個數(shù)為2；
當a≤0時，y=a和y=m（x）有一個交點，即方程解的個數(shù)為1．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間和極值、最值，考查函數(shù)方程的轉化思想的運用，運用分類討論的思想方法是解題的關鍵．