Question

14．在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥面ABCD，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F，PD=DC．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：PB⊥平面EFD．

Answer 1

分析 （1）先證明線線平行，從而得到線面平行；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，設(shè)AC∩BD=O，連接EO，
∵底面是正方形，∴O為AC的中點，OE為△PAC的中位線，
∴PA∥OE，而OE?平面EDB，PA?平面EBD，
∴PA∥平面EDB；
（2）∵PD⊥平面AC，BC?平面AC，
∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PDC，
∵DE?平面AC，∴BC⊥DE，①，
又∵PD⊥平面AC，DC?平面AC，
∴PD⊥DC，而PD=DC，
∴△PDC為等腰三角形，∴DE⊥PC，②，
由①②得：DE⊥平面PBC，
∴DE⊥PB，又EF⊥PB，
∴PB⊥平面DEF．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定定理，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．