Question

19．設(shè)P為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$右支上一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P為直徑的圓與直線$y=\frac{a}x$的一個(gè)交點(diǎn)始終在第一象限，則雙曲線離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． $（{1，\sqrt{2}}）$
• B． $（{1，\sqrt{2}}]$
• C． $（{\sqrt{2}，+∞}）$
• D． $[{\sqrt{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 設(shè)P（x₀，y₀），交點(diǎn)A（x_A，y_A），求得直線PA的方程，與直線$y=\frac{a}x$聯(lián)立求得交點(diǎn)A，若要點(diǎn)A始終在第一象限，需要ax₀+by₀＞0即要$\frac{a{x}_{0}}$＞-y₀恒成立，討論若點(diǎn)P在第一象限，此不等式顯然成立；只需要若點(diǎn)P在第四象限或坐標(biāo)軸上此不等式也成立．此時(shí)y₀≤0，化簡(jiǎn)整理可得a≥b，由離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），交點(diǎn)A（x_A，y_A），
由圓的性質(zhì)可得PA與直線$y=\frac{a}x$垂直，
則${l_{PA}}：y-{y_0}=-\frac{a}（{x-{x_0}}）$，與$y=\frac{a}x$聯(lián)立，
得$A（{\frac{{a（{a{x_0}+b{y_0}}）}}{{{a^2}+{b^2}}}，\frac{{b（{a{x_0}+b{y_0}}）}}{{{a^2}+{b^2}}}}）$，
若要點(diǎn)A始終在第一象限，需要ax₀+by₀＞0即要$\frac{a{x}_{0}}$＞-y₀恒成立，
若點(diǎn)P在第一象限，此不等式顯然成立；
只需要若點(diǎn)P在第四象限或坐標(biāo)軸上此不等式也成立．此時(shí)y₀≤0，
∴$\frac{a^2}{b^2}x_0^2＞y_0^2$，而$y_0^2={b^2}（{\frac{x_0^2}{a^2}-1}）$，
故$（{\frac{a^2}{b^2}-\frac{b^2}{a^2}}）x_0^2＞-{b^2}$恒成立，只需$\frac{a^2}{b^2}-\frac{b^2}{a^2}≥0$，即a≥b，
即b²=c²-a²≤a²，
∴$1＜e≤\sqrt{2}$．
故e∈$（1，\sqrt{2}]$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程組，求交點(diǎn)，討論點(diǎn)P所在象限的情況，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．