Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{bx}{a{x}^{2}+1}$（b≠0，a＞0）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=$\frac{1}{2}$，log₃（4a-b）=$\frac{1}{2}$log₂4．
①求a，b的值．
②已知A，B是銳角三角形ABC的內(nèi)角，試判斷f（sinA）與f（cosB）的大小．

Answer 1

分析 （1）利用奇偶函數(shù)的定義判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系；
（2）已知得到關(guān)于a，b的方程解之；再利用函數(shù)的單調(diào)性，首先判斷sinA與cosB的大�。�再判斷f（sinA）與f（cosB）的大�。�

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{bx}{a{x}^{2}+1}$（b≠0，a＞0）．
f（-x）=$\frac{-bx}{a{x}^{2}+1}=-$f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）若f（1）=$\frac{1}{2}$，log₃（4a-b）=$\frac{1}{2}$log₂4．
則①$\frac{a+1}=\frac{1}{2}$且4a-b=3，解得a=1，b=1；
②由①知，得到f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，f'（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{{（x}^{2}+1）^{2}}$，由f'（x）＞0得到-1＜x＜1時(shí)，f（x）為增函數(shù)，
又A，B是銳角三角形ABC的內(nèi)角，所以A+B＞$\frac{π}{2}$，即A＞$\frac{π}{2}-B$，所以sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-B）所以1＞sinA＞cosB＞0，
所以f（sinA）＞f（cosB）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的運(yùn)用；屬于中檔題．