Question

（Ⅰ）雙曲線的離心率為

5

2

，且與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1有公共焦點(diǎn)，求此雙曲線的方程．
（Ⅱ） 從拋物線y²=4x上各點(diǎn)向x軸做垂線段，求垂線段中點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得：c=

5

，

c

a

=

5

2

，進(jìn)而求出a，b的數(shù)值即可求出雙曲線的方程；
（Ⅱ）先設(shè)出垂線段的中點(diǎn)為（x，y），（x₀，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，把它們坐標(biāo)之間的關(guān)系找出來(lái)，代入拋物線的方程即可．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±

5

，0），∴c=

5

，
∵雙曲線的離心率為

5

2

，
∴

c

a

=

5

2

，
∴a=4，
∴b=1，
∴雙曲線的方程為

x2

4

-y2=1------（6分）
（Ⅱ）設(shè)垂線段的中點(diǎn)為（x，y），（x₀，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，
則x=x₀，y=

y0

2

；即x₀=x，y=2y₀，（x₀，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，
所以（2y）²=4x；即y²=x拋物線------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的有關(guān)性質(zhì)，考查求軌跡方程的方法．