Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^xu（x），
（Ⅰ）若u（x）=x²-

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x+2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若u（x）=x²+ax-3-2a，設(shè)函數(shù)g（x）=（a²+14）e^x+4．當(dāng)a＞0時，分別求出f（x）和g（x）在x∈[0，4]的值域．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）化簡函數(shù)并求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于0，從而解出增區(qū)間；（Ⅱ）求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的最值，進而求值域．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=e^xu（x）=（x²-

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x+2）e^x，
f′（x）=（x²-

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x-

1

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）e^x，
令f′（x）＞0，得x＜-

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或x＞1，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-

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），（1，+∞）．
（Ⅱ）f（x）=（x²+ax-3-2a）e^x，
當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增；
∴f（x）≥f（1）=-（a+2）e；
又∵f（0）=-（2a+3）＜0，f（4）=（2a+13）e⁴＞0
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域是[-（a+2）e，（2a+13）e⁴]．
又g（x）=（a²+14）e^x+4在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，所以它在區(qū)間[0，4]上的值域是[（a²+14）e⁴，（a²+14）e⁸]．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，及函數(shù)值域的求法，屬于中檔題．