Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，點(diǎn)P（1，f（1））在函數(shù)y=f（x）的圖象上，過P點(diǎn)的切線方程為y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=-2時(shí)有極值，求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）在（1）的條件下是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式f（x）≥m在區(qū)間[-2，1]上恒成立，若存在，試求出m的最大值，若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由于函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1，所以f（1）=4，f′（1）=3，又因?yàn)閥=f（x）在x=-2時(shí)有極值，所以f′（-2）=0，列三個(gè)方程解之即可；
（2）由于函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1，所以 f′（1）=3，所以2a=-b，欲使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，只需f′（x）=3x²-bx+b≥0在區(qū)間[-2，1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為b≥

3x2

x-1

在區(qū)間[-2，1]上恒成立，利用函數(shù)性質(zhì)求此函數(shù)的最大值即可；
（3）由（1）可知，f（x）解析式，由于不等式f（x）≥m在區(qū)間[-2，1]上恒成立，須使[f（x）]_min≥m（x∈[-2，1]），再由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可得到，f（x）在區(qū)間[-2，1]上最小值，繼而可以得到m的最大值．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1，
所以f（1）=4，f′（1）=3，
又因?yàn)閥=f（x）在x=-2時(shí)有極值，所以f′（-2）=0，
由于f′（x）=3x²+2ax+b
則

f′(1)=3+2a+b=3 f(1)=1+a+b+c=4 f′(-2)=14-4a+b=0

，解得a=2，b=-4，c=5
∴f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1，
∴f′（1）=3，∴2a=-b
∴f′（x）=3x²-bx+b
依題意欲使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，只需f′（x）=3x²-bx+b≥0在區(qū)間[-2，1]上恒成立
即b≥

3x2

x-1

在區(qū)間[-2，1]上恒成立
由于

3x2

x-1

≤0，則b≥0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增；
（3）假設(shè)在（1）的條件下存在實(shí)數(shù)m，使得不等式f（x）≥m在區(qū)間[-2，1]上恒成立，
由（1）知，f（x）=x³+2x²-4x+5，則f′（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f′（x）＜0，則-2＜x＜

2

3

，則f（x）在區(qū)間[-2，

2

3

]上遞減，在（

2

3

，1]上遞增，
則[f（x）]_min=f（

2

3

）=（

2

3

）³+2×（

2

3

）²-4×

2

3

+5=

145

27

若使f（x）≥m在區(qū)間[-2，1]上恒成立，須使[f（x）]_min≥m（x∈[-2，1]），
則m≤

145

27

，則m的最大值為

145

27

．

點(diǎn)評：本題考察了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，利用導(dǎo)數(shù)解決已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍問題的方法，考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想方法．