Question

4．已知函數(shù)f（x）=lg$\frac{x-a}{x+1}$（a∈R）．
（1）若f（x）是定義域上奇函數(shù)，求a的值；
（2）若函數(shù)在[1，+∞）上單增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）=lg$\frac{x-a}{x+1}$是定義域上奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）恒成立，進(jìn)而得到滿足條件的a的值；
（2）若函數(shù)在[1，+∞）上單增，則t=$\frac{x-a}{x+1}$在[1，+∞）上單增，且$\frac{x-a}{x+1}$＞0恒成立，進(jìn)而可得a的取值范圍．

解答 解：（1）若函數(shù)f（x）=lg$\frac{x-a}{x+1}$是定義域上奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x）恒成立，
即lg$\frac{-x-a}{-x+1}$=-lg$\frac{x-a}{x+1}$恒成立，
即$\frac{-x-a}{-x+1}$•$\frac{x-a}{x+1}$=1恒成立，
解得：a=±1，
經(jīng)檢驗(yàn)，a=1時(shí)，f（x）是奇函數(shù)；
a=-1時(shí)，f（x）的定義域是{x|x≠-1}不是奇函數(shù)；
故a=1；
（2）若函數(shù)在[1，+∞）上單增，
則t=$\frac{x-a}{x+1}$在[1，+∞）上單增，且$\frac{x-a}{x+1}$＞0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}-a-1＜0\\ \frac{1-a}{2}＞0\end{array}\right.$，
解得：a∈（-1，1）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．