Question

某人有n元錢，他每天買一次物品，每次買物品的品種很單調(diào)，或者買一元錢的甲物品，或者買兩元錢的乙物品，或者買兩元錢的丙物品，問(wèn)他花完這n元錢有多少種不同的方式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)條件建立遞推關(guān)系，利用數(shù)列的遞推公式進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)a_n表示花完這n元錢的方案種數(shù)，
若n=1，則只能買甲，有一種方法，故a₁=1，
若n=2，則可以買2個(gè)甲，或者1個(gè)乙或1個(gè)丙，即a₂=3，
當(dāng)n≥3時(shí)，花錢的方式由購(gòu)買甲和購(gòu)買乙購(gòu)買丙的種數(shù)之和構(gòu)成，
即a_n=a_n-1+a_n-2+a_n-2=a_n-1+2a_n-2
則當(dāng)n≥3時(shí)，a_n+a_n-1=2（a_n-1+a_n-2），
即{a_n+1+a_n}是公比q=2的等比數(shù)列，首項(xiàng)為a₂+a₁=1+3=4，
則a_n+1+a_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n+a_n-1=2ⁿ，
兩式相減得a_n+1-a_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，（n≥2），
若n是奇數(shù)，a_n=2^n-1+2^n-3+…+2²+a₁=

1

3

（2ⁿ⁺¹-1）
若n是偶數(shù)，a_n=2^n-1+2^n-3+…+2³+a₂=

1

3

（2ⁿ⁺¹+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件建立遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．