Question

在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系．已知點P的極坐標（2，

π

2

），曲線C的極坐標方程：ρ=-4cosθ，過點P的直線l交曲線C于M、N兩點．
（Ⅰ）若在直角坐標系下直線l的傾斜角為α，求直線l的參數(shù)方程和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）求|PM|+|PN|的最大值及相應(yīng)的α值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)直線l的傾斜角為α，且過點P（0，2），可得直線l的參數(shù)方程．曲線C的極坐標方程即ρ²=-4ρcosθ，從而化為直角坐標方程．
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程化簡利用韋達定理可得t₁+t₂=4（cosα+sinα），t₁•t₂=4，|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4

2

|sin（α+

π

4

）|．再根據(jù)α∈[0，π），求得|PM|+|PN|的最大值及相應(yīng)的α值．

解答： 解：（Ⅰ）若在直角坐標系下直線l的傾斜角為α，把點P的極坐標（2，

π

2

）化為直角坐標為（0，2），
故直線l的參數(shù)方程為

x=0+tcosα y=2+tsinα

 （t為參數(shù)）．
曲線C的極坐標方程：ρ=-4cosθ，即 ρ²=-4ρcosθ，化為直角坐標方程為 （x+2）²+y²=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，曲線C表示以C（-2，0）為圓心、半徑等于2的圓．
把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程化簡可得 t²+4（cosα+sinα）t+4=0，∴t₁+t₂=4（cosα+sinα），t₁•t₂=4．
|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4

2

|sin（α+

π

4

）|．
再根據(jù)α∈[0，π），可得當α=

π

4

時，|PM|+|PN|的最大值為4

2

．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標化為直角坐標方程的方法，韋達定理的應(yīng)用，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．