Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線：與直線：交于，兩點(diǎn).

（1）若的面積為，求；

（2）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動時(shí)，總有？若存在，求以線段為直徑的圓的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，方程為（或）

【解析】

（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，設(shè)出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理，由弦長公式求出，由點(diǎn)到直線距離公式求出到的距離，再由即可求出結(jié)果；

（2）等價(jià)于直線，傾斜角互補(bǔ)，所以只需求出使直線，斜率之和為的點(diǎn)坐標(biāo)即可，進(jìn)而可求出結(jié)果.

解：（1）將代入，得，

設(shè)，，則，，

從而 .

因?yàn)?/span>到的距離為，

所以的面積 ，

解得.

（2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：

設(shè)為符合題意的點(diǎn)，直線，的斜率分別為，.

從而

.

當(dāng)時(shí)，有，則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補(bǔ)，

故，所以點(diǎn)符合題意.

故以線段為直徑的圓的方程為（或）