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△ABC中，頂點A（1，2），B（4，1），點H（
23
7
，
6
7
）為△ABC三條高所在直線的交點．
（1）求頂點C坐標；
（2）設直線l：kx+y=0（k∈r），求點A，B，C到l的距離的平方和的取值范圍．
考點：直線的一般式方程
專題：直線與圓
分析：（1）利用垂心的性質、相互垂直的直線斜率之間的關系即可得出；
（2）利用點到直線的距離公式、函數的單調性即可得出．
解答： 解：（1）設C（x，y），
∵點H（
23
7
，
6
7
）為△ABC三條高所在直線的交點，∴CH⊥AB，AH⊥BC．
∴kCH•kAB=kBH•kAC=-1，
∴
y-
6
7
x-
23
7
•
2-1
1-4
=-1，
1-
6
7
4-
23
7
•
y-2
x-1
=-1，
化為3x-y-9=0，5x+y-7=0，聯(lián)立解得
x=2
y=-3
，
∴C（2，-3）．
（2）點A，B，C到l的距離的平方和=(
k+2
k2+1
)2+(
4k+1
k2+1
)2+(
2k-3
k2+1
)2=
21k2+14
k2+1
=21-
7
k2+1
，
∵k2≥0，∴
1
k2+1
≤1，∴21-
7
k2+1
≥14．
直線l：kx+y=0（k∈r），求點A，B，C到l的距離的平方和的取值范圍是[14，21）．
點評：本題考查了垂心的性質、相互垂直的直線斜率之間的關系、點到直線的距離公式、函數的單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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1
3
x3-4x+4的極值，并作出函數圖象（簡圖、建立坐標系）

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（2）若bn=
Sn+n2
an+2n
，求數列{bn}的前n項和Bn；
（3）若cn=
1
an-2
，數列{cn}的前n項和Tn，求證Tn＜
3
4
．

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x
x-a
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x-y
1-xy
），當x∈（-1，0）時，有f（x）＞0；若P=f（
1
5
）+f（
1
11
），Q=f（
1
2
），R=f（0）；則P，Q，R的大小關系為
 
．

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1
n(n+2)
，則通項an=
 
．

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過橢圓
x2
16
+
y2
4
=1的左焦點作直線與橢圓相交，使弦長均為整數的所有直線中，等可能地任取一條直線，所取弦長不超過4的概率為
 
．

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