Question

已知0＜β＜

π

2

＜α＜

3π

4

，cosα（

π

4

-α）=

3

5

，sin（

3π

4

+β）=

5

13

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：根據(jù)α、β的取值范圍以及cosα（

π

4

-α）與sin（

3π

4

+β）的值，求出sin（

π

4

-α）、cos（

3π

4

+β）的值；
再計(jì)算sin[（

3π

4

+β）-（

π

4

-α）]的值，即得cos（α+β）的值．

解答： 解：∵0＜β＜

π

2

＜α＜

3π

4

，
∴-

π

2

＜

π

4

-α＜-

π

4

，
且cosα（

π

4

-α）=

3

5

，
∴sin（

π

4

-α）=-

4

5

；
又∵

3π

4

＜

3π

4

+β＜

5π

4

，
且sin（

3π

4

+β）=

5

13

，
∴cos（

3π

4

+β）=-

12

13

；
∴sin[（

3π

4

+β）-（

π

4

-α）]=sin（

3π

4

+β）cos（

π

4

-α）-cos（

3π

4

+β）sin（

π

4

-α）
=

5

13

×

3

5

-（-

12

13

）×（-

4

5

）
=-

33

65

；
又∵sin[（

3π

4

+β）-（

π

4

-α）]=sin[

π

2

+（α+β）]=cos（α+β），
∴cos（α+β）=-

33

65

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的恒等變換以及同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了計(jì)算與推理能力，是中檔題．