Question

已知0＜β＜

π

2

＜α＜

3π

4

，cosα（

π

4

-α）=

3

5

，sin（

3π

4

+β）=

5

13

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數

專題：三角函數的求值

分析：根據α、β的取值范圍以及cosα（

π

4

-α）與sin（

3π

4

+β）的值，求出sin（

π

4

-α）、cos（

3π

4

+β）的值；
再計算sin[（

3π

4

+β）-（

π

4

-α）]的值，即得cos（α+β）的值．

解答： 解：∵0＜β＜

π

2

＜α＜

3π

4

，
∴-

π

2

＜

π

4

-α＜-

π

4

，
且cosα（

π

4

-α）=

3

5

，
∴sin（

π

4

-α）=-

4

5

；
又∵

3π

4

＜

3π

4

+β＜

5π

4

，
且sin（

3π

4

+β）=

5

13

，
∴cos（

3π

4

+β）=-

12

13

；
∴sin[（

3π

4

+β）-（

π

4

-α）]=sin（

3π

4

+β）cos（

π

4

-α）-cos（

3π

4

+β）sin（

π

4

-α）
=

5

13

×

3

5

-（-

12

13

）×（-

4

5

）
=-

33

65

；
又∵sin[（

3π

4

+β）-（

π

4

-α）]=sin[

π

2

+（α+β）]=cos（α+β），
∴cos（α+β）=-

33

65

．

點評：本題考查了三角函數的恒等變換以及同角的三角函數關系的應用問題，也考查了計算與推理能力，是中檔題．