Question

19．如圖，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點(diǎn)為F，過F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，若CF⊥AB且CF=AB，則橢圓的離心率為$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作另一焦點(diǎn)F′，連接AF′和BF′和CF′，則四邊形FAF′C為平行四邊形，進(jìn)一步得到三角形ABF′為等腰直角三角形，設(shè)AF′=AB=x，求出x，在三角形AFF′中由勾股定理得（AF′）²+（AF）²=（2c）²，即可求出e²，則答案可求．

解答 解：作另一焦點(diǎn)F′，連接AF′和BF′和CF′，則四邊形FAF′C為平行四邊形，
∴AF′=CF=AB，且AF′⊥AB，則三角形ABF′為等腰直角三角形，
設(shè)AF′=AB=x，則$x+x+\sqrt{2}x=4a$，即$x=（4-2\sqrt{2}）a$，
∴$AF=（2\sqrt{2}-2）a$，在三角形AFF′中由勾股定理得（AF′）²+（AF）²=（2c）²，
∴${e}^{2}=9-6\sqrt{2}$．則e=$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查了勾股定理在解題中的應(yīng)用，是中檔題．