Question

14．某公司擬設(shè)計一個扇環(huán)形狀的花壇（如圖所示），該扇環(huán)是由以點O為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點AD的兩條線段圍成．設(shè)圓弧$\widehat{AB}$、$\widehat{CD}$所在圓的半徑分別為f（x）、R米，圓心角為θ（弧度）．
（1）若θ=$\frac{π}{3}$，r₁=3，r₂=6，求花壇的面積；
（2）設(shè)計時需要考慮花壇邊緣（實線部分）的裝飾問題，已知直線部分的裝飾費用為60元/米，弧線部分的裝飾費用為90元/米，預算費用總計1200元，問線段AD的長度為多少時，花壇的面積最大？

Answer 1

分析 （1）設(shè)花壇的面積為S平方米.$S=\frac{1}{2}{r_2}^2θ-\frac{1}{2}{r_1}^2θ$，即可得出結(jié)論；
（2）記r₂-r₁=x，則0＜x＜10，所以$S=\frac{1}{2}（{\frac{40}{3}-\frac{4}{3}x}）x$=$-\frac{2}{3}{（{x-5}）^2}+\frac{50}{3}，x∈（{0，10}）$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)花壇的面積為S平方米.$S=\frac{1}{2}{r_2}^2θ-\frac{1}{2}{r_1}^2θ$…（2分）
=$\frac{1}{2}×36×\frac{π}{3}-\frac{1}{2}×9×\frac{π}{3}$=$\frac{9}{2}π（{m^2}）$…（4分）
答：花壇的面積為$\frac{9}{2}π（{m^2}）$；…（5分）
（2）$\widehat{AB}$的長為r₁θ米，$\widehat{CD}$的長為r₂θ米，線段AD的長為（r₂-r₁）米
由題意知60•2（r₂-r₁）+90（r₁θ+r₂θ）=1200
即4（r₂-r₁）+3（r₂θ+r₁θ）=40*…（7分）
$S=\frac{1}{2}{r_2}^2θ-\frac{1}{2}{r_1}^2θ=\frac{1}{2}（{{r_2}θ+{r_1}θ}）（{{r_2}-{r_1}}）$…（9分）
由*式知，${r_2}θ+{r_1}θ=\frac{40}{3}-\frac{4}{3}（{{r_2}-{r_1}}）$…（11分）
記r₂-r₁=x，則0＜x＜10
所以$S=\frac{1}{2}（{\frac{40}{3}-\frac{4}{3}x}）x$=$-\frac{2}{3}{（{x-5}）^2}+\frac{50}{3}，x∈（{0，10}）$…（13分）
當x=5時，S取得最大值，即r₂-r₁=5時，花壇的面積最大．…（15分）
答：當線段AD的長為5米時，花壇的面積最大．…（16分）

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查扇形的面積，考查配方法的運用，屬于中檔題．