Question

4．已知圓C的圓心在直線y=-4x上，且與直線x+y-1=0相切于點P（3，-2）．
（Ⅰ）求圓C方程；
（Ⅱ）是否存在過點N（1，0）的直線l與圓C交于E、F兩點，且△OEF的面積是2$\sqrt{2}$（O為坐標原點）．若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過切點P（3，2）且與x+y-1=0垂直的直線為y=x-5，與直線y=-4x聯(lián)立，解得圓心為（1，-4），由此能求出圓的方程．
（Ⅱ）當斜率不存在時，直線l方程為x=1，滿足題意；當斜率存在時，設直線l的方程為 y=k（x-1），由點到直線距離公式結合已知條件推導出不存在這樣的實數(shù)k．從而所求的直線方程為x=1．

解答 解：（Ⅰ）過切點P（3，2）且與x+y-1=0垂直的直線為y+2=x-3，即y=x-5．（1分）
與直線y=-4x聯(lián)立，解得x=1，y=-4，
∴圓心為（1，-4），…（2分）
∴半徑r=$\sqrt{（3-1）^{2}+（-2+4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y+4）²=8．…（4分）
（Ⅱ）①當斜率不存在時，此時直線l方程為x=1，
原點到直線的距離為d=1，
同時令x=1代入圓方程得y=-4$±2\sqrt{2}$，∴|EF|=4$\sqrt{2}$，
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}×1×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$滿足題意，
此時方程為x=1．…（8分）
②當斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），
圓心C（1，-4）到直線l的距離d=$\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，…（9分）
設EF的中點為D，連接CD，則必有CD⊥EF，
在Rt△CDE中，DE=$\sqrt{8-dlomrlq^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{{k}^{2}-1}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴EF=$\frac{4\sqrt{2}•\sqrt{{k}^{2}-1}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，原點到直線l的距離=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，…（10分）
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}•$$\frac{4\sqrt{2}•\sqrt{{k}^{2}-1}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$•$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，…（12分）
整理，得3k²+1=0，不存在這樣的實數(shù)k．
綜上所述，所求的直線方程為x=1．…（14分）

點評 本題考查圓的方程的求法，考查直線方程存在性的討論及其求法，具有一定的探索性，對數(shù)學思維的要求較高，解題時要注意分類討論思想的合理運用．