Question

2．在極坐標(biāo)系中，△ABC的3個頂點(diǎn)的極坐標(biāo)為A（ρ₁，θ₁），B=（ρ₂，θ₂），C（ρ₃，θ₃），求證：△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$|ρ₁ρ₂sin（θ₂-θ₁）+ρ₂ρ₃sin（θ₃-θ₂）+ρ₃ρ1sin（θ₁-θ₃）|

Answer 1

分析 化極坐標(biāo)為直角坐標(biāo)，求出AB的距離，寫出AB所在直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式求出C到直線AB的距離，代入三角形面積公式整理得答案．

解答 證明：由A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂），C（ρ₃，θ₃），得
A（ρ₁cosθ₁，ρ₁sinθ₁），B（ρ₂cosθ₂，ρ₂sinθ₂），C（ρ₃cosθ₃，ρ₃sinθ₃），
|AB|=$\sqrt{（{ρ}_{1}cos{θ}_{1}-{ρ}_{2}cos{θ}_{2}）^{2}+（{ρ}_{1}sin{θ}_{1}-{ρ}_{2}sin{θ}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{{{ρ}_{1}}^{2}+{{ρ}_{2}}^{2}-2{ρ}_{1}{ρ}_{2}cos（{θ}_{1}-{θ}_{2}）}$．
AB所在直線方程為$\frac{y-{ρ}_{1}sin{θ}_{1}}{{ρ}_{2}sin{θ}_{2}-{ρ}_{1}sin{θ}_{1}}=\frac{x-{ρ}_{1}cos{θ}_{1}}{{ρ}_{2}cos{θ}_{2}-{ρ}_{1}cos{θ}_{1}}$，
整理得：（ρ₂sinθ₂-ρ₁sinθ₁）x-（ρ₂cosθ₂-ρ₁cosθ₁）y+ρ₁ρ₂sin（θ₁-θ₂）=0．
則C到AB的距離d=$\frac{|{ρ}_{3}cos{θ}_{3}（{ρ}_{2}sin{θ}_{2}-{ρ}_{1}sin{θ}_{1}）-{ρ}_{3}sin{θ}_{3}（{ρ}_{2}cos{θ}_{2}-{ρ}_{1}cos{θ}_{1}）+{ρ}_{1}{ρ}_{2}sin（{θ}_{1}-{θ}_{2}）|}{\sqrt{（{ρ}_{2}sin{θ}_{2}-{ρ}_{1}sin{θ}_{1}）^{2}+（{ρ}_{2}cos{θ}_{2}-{ρ}_{1}cos{θ}_{1}）^{2}}}$．
則：△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$|AB|d=|ρ₁ρ₂sin（θ₂-θ₁）+ρ₂ρ₃sin（θ₃-θ₂）+ρ₃ρ₁sin（θ₁-θ₃）|．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，訓(xùn)練了三角形面積的求法，考查計算能力，是中檔題．