Question

14．已知：函數(shù)f（x），g（x）分別為R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f（x）-g（x）=2^x
（1）求f（x），g（x）；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（x²+1）+f（mx）≥0對(duì)x＞0恒成立，求是實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（x）+g（x）=2^-x，與f（x）-g（x）=2^x，聯(lián)立可求得f（x），g（x）；
（2）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）f（x²+1）+f（mx）≥0對(duì)x＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為x²+1）≥-mx＞0，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）-g（x）=2^x，①
∴f（-x）-g（-x）=2^-x，
又f（x），g（x）分別是R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，
∴f（x）+g（x）=2^-x，②
由①+②可得：f（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$，
②-①得：g（x）=$\frac{{2}^{-x}-{2}^{x}}{2}$；
（2）f′（x）=$\frac{ln2}{2}$（2^x-2^-x），x＞0時(shí)，f′（x）＞0，x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
（3）f（x²+1）+f（mx）≥0，則f（x²+1）≥f（-mx），
∵f（x²+1）+f（mx）≥0對(duì)x＞0恒成立，
∴x²+1）≥-mx＞0，
∴m＜0且x+$\frac{1}{x}$≥-m，
∴m＜0且-m≤2，
∴-2≤m＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，由已知條件求得f（x）+g（x）=2^-x，從而求得f（x），g（x）的表達(dá)式是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．