Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤0}\\{x+\frac{1}{x}-3，x＞0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x²+2x+$\frac{1}{2}$）=m有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（0，+∞）∪（-1，-$\frac{1}{8}$）．

Answer 1

分析 令t=x²+2x+$\frac{1}{2}$，則f（t）=m，作出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合二次方程的判別式的符號，即可判斷實(shí)根的個(gè)數(shù)．

解答 解：令t=x²+2x+$\frac{1}{2}$，
則f（t）=m，
由圖象可得，當(dāng)m＜-1時(shí)，t有一解；
當(dāng)m=-1時(shí)，t有兩解；
當(dāng)-1＜m≤0時(shí)，t有三解；
當(dāng)m＞0時(shí)，t有兩解．
當(dāng)m＜-1時(shí)，t=x²+2x+$\frac{1}{2}$最多兩個(gè)根；
當(dāng)m=-1時(shí)，t=±1即x²+2x+$\frac{1}{2}$=±1，方程有兩個(gè)實(shí)根；
當(dāng)-1＜m≤0時(shí)，-1＜t＜1，當(dāng)-1＜t≤$-\frac{1}{2}$，判別式小于等于0，最多一解，有四個(gè)根；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜t≤0時(shí)，判別式大于0，有六個(gè)根；
當(dāng)m＞0時(shí)，即有t＞0，t=x²+2x+$\frac{1}{2}$有四個(gè)不同的實(shí)根，
綜上可得m的范圍是（0，+∞）∪（-1，-$\frac{1}{8}$）．
故答案為：（0，+∞）∪（-1，-$\frac{1}{8}$）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．