Question

7．已知k是整數(shù)，∠A、∠B、∠C為鈍角△ABC的三個內(nèi)角，且其對邊分別為a、b、c．
（1）若方程x²-2kx+3k²-7k+3=0有實根，求k的值；
（2）對于（1）中的k的值，若sinC=$\frac{k}{\sqrt{2}}$，且有關(guān)系式（c-b）sin²A+bsin²B=csin²C，試求∠A、∠B、∠C的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由二次方程有實根的條件得：△=4k²-4（3k²-7k+3）≥0，化簡求出不等式的解，根據(jù)k是整數(shù)得到k的值；
（2）由（1）和正弦函數(shù)的范圍求出sinC，由內(nèi)角的范圍求出∠C，根據(jù)正弦定理化簡已知的式子，結(jié)合條件和余弦定理求出∠A，再求出∠B、∠C的度數(shù)．

解答 解：（1）∵方程x²-2kx+3k²-7k+3=0有實根，
∴△=4k²-4（3k²-7k+3）≥0，則2k²-7k+3≤0，
解得$\frac{1}{2}≤k≤3$，
∵k是整數(shù)，∴k的值是1、2、3；
（3）∵sinC=$\frac{k}{\sqrt{2}}$≤1，∴由（1）知k=1符合，則sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠C=45°或135°，
∵（c-b）sin²A+bsin²B=csin²C，
∴由正弦定理得，（c-b）a²+b³=c³，
化簡得，（c-b）a²=（c-b）（b²+bc+c²），
∵△ABC是鈍角三角形，且∠C=45°或135°，
∴c-b≠0，則a²=b²+bc+c²，即b²+c²-a²=-bc，
由余弦定理得，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$-\frac{1}{2}$，
∴∠A=120°，∠C=45°，則∠B=180°-A-C=180°-120°-45°=15°，
即∠A、∠B、∠C的度數(shù)分別是120°、45°、15°．

點評 本題考查了正弦、余弦定理，內(nèi)角和定理，正弦三角函數(shù)的值域，以及二次方程、不等式等，考查的知識點較多，屬于中檔題．