Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos xsin x-$\frac{1}{2}$cos 2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值、最小值及此時(shí)相應(yīng)自變量x的取值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求出f（x）的范圍，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最大值、最小值及此時(shí)相應(yīng)自變量x的取值．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$cos xsin x-$\frac{1}{2}$cos 2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2x-$\frac{1}{2}$cos 2x
=cos$\frac{π}{6}$sin 2x-sin$\frac{π}{6}$cos 2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
（1）f（x）的最小正周期為T(mén)=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，
即函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（2）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$．
由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可知：
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）取得最大值，即$f（x）_{max}=sin\frac{π}{2}=1$，
∴f（x）取得最大值1；
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=0時(shí)，f（x）取得最小值，即$f（x）=sin（-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{2}$
∴f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$．
因此，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是1，此時(shí)x=$\frac{π}{3}$；最小值是$-\frac{1}{2}$，此時(shí)x=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．