Question

13．已知{a_n}是等差數(shù)列且公差d＞0，a₁=1且a₂，a₄，a₈是等比數(shù)列．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前2016項(xiàng)和T₂₀₁₆．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，則$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），利用“裂項(xiàng)求和”可得．

解答 解：（1）∵a₁=1且a₂，a₄，a₈是等比數(shù)列，
∴a₄²=a₂•a₈，
∴（1+3d）²=（1+d）×（1+7d），
化為d²-d=0，
∵d≠0，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n，
（2）∵{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T₂₀₁₆=2（$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=2（1-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{4032}{2017}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．